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Hydrostatique
L’hydrostatique concerne l’étude des fluides en équilibres (sans mouvement).
Dynamique des fluides.
Théorème de Bernoulli
Nous considérons l’écoulement d’un fluide parfait dans une conduite. Le fluide étant parfait, sa masse volumique \(\rho\) est constante et il n’y a pas de frottement.
Dans cette conduite, nous examinons le mouvement d’un petit volume de fluide (de l’eau par exemple) se déplaçant du point 1 au point 2. Son volume est noté V, son altitude z, sa masse m et sa vitesse v.
Conservation de l’énergie. – Le fluide étant parfait, l’énergie du petit volume d’eau reste constante lors de son déplacement de du point 1 au point 2.
Formes d’énergie. – L’énergie du petit volume de fluide, W, est composée de :
- de l’énergie cinétique : \(\frac{1}{2} \times m\times v^2 \)
- de l’énergie potentielle de pesanteur : \(\ m\times g \times z \)
- de l’énergie potentielle de pression : \(p\times V \)
\(W=m\times g \times z+p\times V+\frac{1}{2} \times m\times v^2 = constante \)
Écoulement permanent. – L’écoulement est dit « permanent » lorsque ses caractéristique sont constantes au cours du temps.
Ligne de courant. – C’est la trajectoire suivie par un petit volume de fluide. Sur l’animation ci-dessus, c’est la ligne rouge reliant les points 1 et 2.
Dans ces conditions, plutôt que de suivre le petit volume de fluide, on peut considérer un petit volume de fluide en A et un autre en B (même volume) et écrire qu’il ont la même énergie. On peut également écrire qu’en régime permanent l’énergie est constante le long d’une ligne de courant.
\(m\times g \times z_1+p_1\times V+\frac{1}{2} \times m\times v_1^2 =m\times g \times z_2+p_2\times V+\frac{1}{2} \times m\times v_2^2 \)
Cette relation est rarement (jamais ?) utilisée sous cette forme. Les physiciens lui préfèrent la forme suivante :
| Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un point 1 à un point 2 : \(z_1+\frac{p_1}{\rho \times g}+\frac{v_1^2}{2\times g} = z_2+\frac{p_2}{\rho \times g}+\frac{v_2^2}{2\times g} \) |
Equation de continuité
Le schéma ci-dessus représente un conduit avec un rétrécissement en son centre (on parle d’un venturi). A l’intérieur de ce conduit, un fluide se déplace de la section 1 à la section 2. La totalité du fluide passant par la section 1 passera par la section 2. Si le fluide est un fluide parfait et si l’écoulement est permanent, le débit volumique de fluide dans la section 1, Q1 est égal au débit volumique dans la section 2, Q2. L’équation de continuité s’écrit :
\(Q_1 = Q_2\)
Par ailleurs, Le débit est lié à la vitesse du fluide et à la section de la manière suivante :
\(Q_1 = V_1 \times S_1\) et \(Q_2 = V_2\times S_2\)
L’équation de continuité peut donc s’écrire sous la forme :
\(V_1 \times S_1= V_2\times S_2\) ou \(V_2=V_1 \times \frac{S_1}{S_2}\)
S1 >S2 donc V2>V1
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Exemples d’application : Venturi
Le schéma ci-dessous représente un conduit avec un rétrécissement en son centre (on parle d’un venturi). Nous pouvons appliquer le théorème de Bernoulli pour l’écoulement entre les points P1 et P2.
Théorème de Bernoulli généralisé
Nombre de Reynolds
Perte de charges
Exemples d’application