Maintenance MSE2 – Les cours de p. m.

Ce cours est la suite de celui de première année. Nous avions alors étudié les différents outils permettant de caractériser les défaillances et donc de déterminer le plan de maintenance : diagrammes de PARETO, courbes ABC. Nous nous intéressons cette année, dans un premier temps, à la fiabilité, la maintenabilité et la disponibilité des équipements. Nous nous intéressons ensuite aux modèles mathématiques couramment utilisés en maintenance pour modéliser une durée de vie : la loi exponentielle, la loi Normale, la loi de Weibull.

Loi exponentielle

La loi exponentielle est une loi qui ne comporte qu’un seul paramètre : λ0 . Cette loi s’utilise lorsque le taux de défaillance λ(t) est constant. La détermination de λ0 est très simple : \[\lambda_0=\frac{1}{MTBF}\]

MTBF est la Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement.

Exemple

Considérons un ensemble de 9 systèmes identiques, non réparables, qui ont été mis en service en même temps et qui fonctionnent simultanément. Le tableau ci-dessous indique le temps de bon fonctionnement (TBF) (en heures) de chacun de ces systèmes.

Systèmes	1	2	3	4	5	6	7	8	9
TBF (h)	90	350	950	1660	530	1260	2380	230	720

Intéressons nous maintenant à la fiabilité de ces systèmes, c’est-à-dire à la probabilité qu’un système fonctionne correctement au bout d’un certain temps de fonctionnement.

Au bout de 950 heures de fonctionnement, 6 systèmes sont tombés en pannes. On en déduit qu’il y a une probabilité égale à 3/9 d’avoir un système encore en état de fonctionner après 950 heures de fonctionnement.

En définitive, la fiabilité du système R(t) en fonction de la durée d’utilisation t admet les valeurs suivantes :

t	0	90	230	350	530	720	950	1260	1660	2380
R(t)	1	0,89	0,78	0,67	0,56	0,44	0,33	0,22	0,11	0

On constate que l’on peut trouver des valeurs de paramètres permettant de représenter correctement les observations.

Notons que nous avons utilisé une méthode de calcul de la fonction de fiabilité – la méthode des rangs bruts, très intuitive – qui n’est pas adaptée lorsque le nombre de TBF est faible (inférieur à 50). En utilisant la méthode adaptée, la méthode des rangs médians, le résultat aurait été meilleur.

Loi de Weibull

La loi de weibull est une loi très utilisée en maintenance car elle permet de modéliser correctement la durée de vie de la plupart des composants. C’est la loi la plus générale. Elle comporte 3 paramètres : \[\eta,\ \beta \ et \ \gamma \]

La détermination des paramètres est réalisée de manière graphique lors de l’épreuve de STS-Physique.

On peut bien sûr utiliser un logiciel pour aller plus vite lorsque l’on n’est pas en situation d’examen.

Prenons un exemple : on connait les durées de vie (TBF) des 15 premiers balais utilisés sur une balayeuse, exprimées en heures :

749 – 333 – 461 – 243 – 397 – 483 – 326 – 216 – 391 – 404 – 249 – 316 – 463 – 656 – 609

A partir de ces observations, nous pouvons déterminer la fonction de défaillance F(t), F(t) étant la probabilité pour que le balais soit défaillant au bout de t heures d’utilisation. Une fois le type de modèle choisi (loi de Weibull dans notre cas), il faut déterminer les paramètres du modèle permettant de reproduire les observations. C’est ce que vous pouvez faire sur la figure suivante :

On constate que l’on peut trouver des valeurs de paramètres permettant de représenter correctement les observations.

Estimation de la fonction de défaillance

Jusqu’à présent nous avons utilisé la méthode des « rangs bruts » pour estimer la fonction de défaillance. Celle-ci correpond parfaitement à la définition de la fonction de défaillance. Vous avez remarqué que j’ai employé le terme « estimer » et pas le terme « déterminer ». Reprenons le 1^er exemple, pour lequel nous ne disposons que de 9 TBF. Le plus grand TBF est égal à 2380 h. Il est fort probable que si l’on avait plus de TBF pour le même système, le plus grand TBF aurait une valeur plus importante et la fonction de défaillance serait donc différente. C’est donc une estimation de la fonction de défaillance que l’on obtient à partir des TBF. Plus il y a de TBF meilleure est l’estimation. Bien souvent la taille de l’effectif – le nombre de TBF – est peu élevé, on utilise alors d’autres méthodes pour estimer la fonction de défaillance.

Notons :

\(n_i\) : le nombre de pannes au bout de la durée considérée (\(t_i)\)
\(n\) : le nombre total de pannes, c’est-à-dire le nombre de TBF

Méthode des rangs médians : nombre de TBF n <= 20 \[\ F(n_i)=\frac {n_i-0,3} {n+0,4} \]

Le nombre de cas possibles étant limités, on peut utiliser une table – la table des rangs médians – pour déterminer la fonction de fiabilité F(t) :

Ordre de rang = i	Taille de l’échantillon : n
Ordre de rang = i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	50,000	29,289	20,630	15,910	12,945	10,910	9,428	8,300	7,412	6,697	6,107
2		70,711	50,000	38,573	31,381	26,445	22,849	20,113	17,962	16,226	14,796
3			79,370	61,427	50,000	42,141	36,412	32,052	28,624	25,857	23,578
4				84,090	68,616	57,859	50,000	44,015	39,308	35,510	32,380
5					87,055	73,555	63,588	55,984	50,000	45,169	41,189
6						89,090	77,151	67,948	60,691	54,831	50,000
7							90,572	79,887	71,376	64,490	58,811
8								91,700	82,038	74,142	67,620
9									92,587	83,774	76,421
10										93,303	85,204
11											93,893

Méthode des rangs moyens : 20 < nombre de TBF n <= 50 \[\ F(n_i)=\frac {n_i} {n+1} \]

Méthode des rangs bruts : nombre de TBF n > 50 \[\ F(n_i)=\frac {n_i} {n} \]

Travaux Dirigés

TD n° 1 : loi exponentielle

TD n° 2 : loi de Weibull avec γ = 0

Sur le graphique ci-dessous, la fonction de défaillance relative aux observations est représentée en bleu, la fonction de défaillance obtenue à l’aide du modèle de Weibull est représentée en rouge.

Vous pouvez faire varier les 3 paramètres de la loi de Weibull afin de « faire coller » au mieux le modèle aux observations.