{"id":77,"date":"2020-04-30T10:18:50","date_gmt":"2020-04-30T08:18:50","guid":{"rendered":"http:\/\/hiutakc.cluster028.hosting.ovh.net\/?page_id=77"},"modified":"2021-01-24T23:55:27","modified_gmt":"2021-01-24T22:55:27","slug":"maintenance-mse2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/maintenance\/maintenance-mse2\/","title":{"rendered":"Maintenance MSE2"},"content":{"rendered":"\n<p>Ce cours est la suite de celui de premi\u00e8re ann\u00e9e. Nous avions alors \u00e9tudi\u00e9 les diff\u00e9rents outils permettant de caract\u00e9riser les d\u00e9faillances et donc de d\u00e9terminer le plan de maintenance&nbsp;: diagrammes de PARETO, courbes ABC. Nous nous int\u00e9ressons cette ann\u00e9e, dans un premier temps, \u00e0 la fiabilit\u00e9, la maintenabilit\u00e9 et la disponibilit\u00e9 des \u00e9quipements. Nous nous int\u00e9ressons ensuite aux mod\u00e8les math\u00e9matiques couramment utilis\u00e9s en maintenance&nbsp;pour mod\u00e9liser une dur\u00e9e de vie : la loi exponentielle, la loi Normale, la loi de Weibull. <\/p>\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Sommaire<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Loi exponentielle<\/li><li>Loi de Weibull<\/li><li><a href=\"#TD_loi_expo\">TD n\u00b0 1 : loi exponentielle<\/a><\/li><li><a href=\"#TD_Weib_1\">TD n\u00b02 Loi de Weibull avec \u03b3 = 0<\/a><\/li><li><a href=\"#TD_loi_weib2\">TD n\u00b03 Loi de Weibull \u03b3 \u2260 0<\/a><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a href=\"http:\/\/hiutakc.cluster028.hosting.ovh.net\/index.php\/maintenance\/maintenance-mse2\/la-loi-exponetielle\/\">Loi exponentielle<\/a><\/h2>\n\n\n\n<p>La loi exponentielle est une loi qui ne comporte qu&rsquo;un seul param\u00e8tre : \u03bb0 . Cette loi s&rsquo;utilise lorsque le taux de d\u00e9faillance \u03bb(t) est constant. La d\u00e9termination de \u03bb0 est tr\u00e8s simple : \\[\\lambda_0=\\frac{1}{MTBF}\\]\n\n\n\n<p>MTBF est la Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement.<\/p>\n\n\n\n<h4 class=\"wp-block-heading\">Exemple<\/h4>\n\n\n\n<p>Consid\u00e9rons un ensemble de 9 syst\u00e8mes identiques, non r\u00e9parables, qui ont \u00e9t\u00e9 mis en service en m\u00eame temps et qui fonctionnent simultan\u00e9ment. Le tableau ci-dessous indique le temps de bon fonctionnement (TBF) (en heures) de chacun de ces syst\u00e8mes.<\/p>\n\n\n\n<table scolor=\"black\" border=\"1\"><tbody><tr><td>Syst\u00e8mes<\/td><td>1<\/td><td>2<\/td><td>3<\/td><td>4<\/td><td>5<\/td><td>6<\/td><td>7<\/td><td>8<\/td><td>9<\/td><\/tr><tr><td>TBF (h)<\/td><td>90<\/td><td>350<\/td><td>950<\/td><td>1660<\/td><td>530<\/td><td>1260<\/td><td>2380<\/td><td>230<\/td><td>720<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\n\n\n\n<p>Int\u00e9ressons nous maintenant \u00e0 la <strong><em>fiabilit\u00e9<\/em><\/strong> de ces syst\u00e8mes, c\u2019est-\u00e0-dire \u00e0 la probabilit\u00e9 qu\u2019un syst\u00e8me fonctionne correctement au bout d\u2019un certain temps de fonctionnement.<\/p>\n\n\n\n<p>Au bout de 950 heures de fonctionnement, 6 syst\u00e8mes sont tomb\u00e9s en pannes. On en d\u00e9duit qu\u2019il y a une probabilit\u00e9 \u00e9gale \u00e0 3\/9 d\u2019avoir un syst\u00e8me encore en \u00e9tat de fonctionner apr\u00e8s 950 heures de fonctionnement.<\/p>\n\n\n\n<p>En d\u00e9finitive, la fiabilit\u00e9 du syst\u00e8me <em>R(t)<\/em> en fonction de la dur\u00e9e d\u2019utilisation <em>t<\/em> admet les valeurs suivantes&nbsp;:<\/p>\n\n\n\n<table scolor=\"black\" border=\"1\"><tbody><tr><td>t<\/td><td>0<\/td><td>90<\/td><td>230<\/td><td>350<\/td><td>530<\/td><td>720<\/td><td>950<\/td><td>1260<\/td><td>1660<\/td><td>2380<\/td><\/tr><tr><td>R(t)<\/td><td>1<\/td><td>0,89<\/td><td>0,78<\/td><td>0,67<\/td><td>0,56<\/td><td>0,44<\/td><td>0,33<\/td><td>0,22<\/td><td>0,11<\/td><td>0<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>\n\n\n\n<iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/pamo.ovh\/EJS\/ejss_simu\/Loi_exp_Simulation.html\" width=\"100%\" height=\"550\"><\/iframe>\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<p>On constate que l&rsquo;on peut trouver des valeurs de param\u00e8tres permettant de repr\u00e9senter correctement les observations.<\/p>\n\n\n\n<p>Notons que nous avons utilis\u00e9 une m\u00e9thode de calcul de la fonction de fiabilit\u00e9 \u2013 la m\u00e9thode des rangs bruts, tr\u00e8s intuitive \u2013 qui n&rsquo;est pas adapt\u00e9e lorsque le nombre de TBF est faible (inf\u00e9rieur \u00e0 50). En utilisant la m\u00e9thode adapt\u00e9e, la m\u00e9thode des rangs m\u00e9dians, le r\u00e9sultat aurait \u00e9t\u00e9 meilleur.<\/p>\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><a href=\"http:\/\/hiutakc.cluster028.hosting.ovh.net\/index.php\/loi-de-weibull\/\">Loi de Weibull<\/a><\/h2>\n\n\n\n<p>La loi de weibull est une loi tr\u00e8s utilis\u00e9e en maintenance car elle permet de mod\u00e9liser correctement la dur\u00e9e de vie de la plupart des composants.  C&rsquo;est la loi la plus g\u00e9n\u00e9rale. Elle comporte 3 param\u00e8tres : \\[\\eta,\\ \\beta \\ et \\ \\gamma \\]\n\n\n\n<p>La d\u00e9termination des param\u00e8tres est r\u00e9alis\u00e9e de mani\u00e8re graphique lors de l&rsquo;\u00e9preuve de STS-Physique.<\/p>\n\n\n\n<p>On peut bien s\u00fbr utiliser un logiciel pour aller plus vite lorsque l&rsquo;on n&rsquo;est pas en situation d&rsquo;examen.<\/p>\n\n\n\n<p>Prenons un exemple : on connait les dur\u00e9es de vie (<strong>TBF<\/strong>) des 15 premiers balais utilis\u00e9s sur une balayeuse, exprim\u00e9es en heures :<\/p>\n\n\n\n<p>749 \u2013 333 \u2013&nbsp; 461 \u2013 243 \u2013&nbsp; 397 \u2013&nbsp; 483 \u2013&nbsp; 326 \u2013&nbsp; 216 \u2013&nbsp; 391 \u2013&nbsp; 404&nbsp; \u2013&nbsp; 249 \u2013&nbsp; 316 \u2013&nbsp; 463 \u2013&nbsp; 656 \u2013&nbsp; 609<\/p>\n\n\n\n<p>A partir de ces observations, nous pouvons d\u00e9terminer la fonction de d\u00e9faillance F(t), F(t) \u00e9tant la probabilit\u00e9 pour que le balais soit d\u00e9faillant au bout de t heures d&rsquo;utilisation. Une fois le type de mod\u00e8le choisi (loi de Weibull dans notre cas), il faut d\u00e9terminer les param\u00e8tres du mod\u00e8le permettant de reproduire les observations. C&rsquo;est ce que vous pouvez faire sur la figure suivante :<\/p>\n\n\n\n<figure><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/pamo.ovh\/EJS\/ejss_simu\/weib_balais_2_Simulation.html\" width=\"100%\" height=\"600\"><\/iframe><\/figure>\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<p>On constate que l&rsquo;on peut trouver des valeurs de param\u00e8tres permettant de repr\u00e9senter correctement les observations.<\/p>\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Estimation de la fonction de d\u00e9faillance<\/h2>\n\n\n\n<p>Jusqu&rsquo;\u00e0 pr\u00e9sent nous avons utilis\u00e9 la m\u00e9thode des \u00ab\u00a0rangs bruts\u00a0\u00bb pour estimer la fonction de d\u00e9faillance. Celle-ci correpond parfaitement \u00e0 la d\u00e9finition de la fonction de d\u00e9faillance. Vous avez remarqu\u00e9 que j&rsquo;ai employ\u00e9 le terme \u00ab\u00a0estimer\u00a0\u00bb et pas le terme \u00ab\u00a0d\u00e9terminer\u00a0\u00bb. Reprenons le 1<sup>er<\/sup> exemple, pour lequel nous ne disposons que de 9 TBF. Le plus grand TBF est \u00e9gal \u00e0  2380 h. Il est fort probable que si l&rsquo;on avait plus de TBF pour le m\u00eame syst\u00e8me, le plus grand TBF aurait une valeur plus importante et la fonction de d\u00e9faillance serait donc diff\u00e9rente. C&rsquo;est donc une estimation de la fonction de d\u00e9faillance que l&rsquo;on obtient \u00e0 partir des TBF. Plus il y a de TBF meilleure est l&rsquo;estimation. Bien souvent la taille de l&rsquo;effectif \u2013 le nombre de TBF \u2013 est peu \u00e9lev\u00e9, on utilise alors d&rsquo;autres m\u00e9thodes pour estimer la fonction de d\u00e9faillance.<\/p>\n\n\n\n<p>Notons :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>\\(n_i\\) : le nombre de pannes au bout de la dur\u00e9e consid\u00e9r\u00e9e (\\(t_i)\\)<\/li><li>\\(n\\) :  le nombre total de pannes, c&rsquo;est-\u00e0-dire le nombre de TBF<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>M\u00e9thode des rangs m\u00e9dians :<\/strong>  nombre de TBF  n &lt;= 20    \\[\\ F(n_i)=\\frac {n_i-0,3} {n+0,4} \\]\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<p>Le nombre de cas possibles \u00e9tant limit\u00e9s, on peut utiliser une table \u2013 la table des rangs m\u00e9dians \u2013 pour d\u00e9terminer la fonction de fiabilit\u00e9 F(t) :<\/p>\n\n\n\n<center><table scolor=\"black\" border=\"1\"><tbody><tr><td rowspan=\"2\">Ordre de rang = i<\/td><td colspan=\"11\" align=\"center\">Taille de l&rsquo;\u00e9chantillon : n<\/td><\/tr><tr><td>1<\/td><td>2<\/td><td>3<\/td><td>4<\/td><td>5<\/td><td>6<\/td><td>7<\/td><td>8<\/td><td>9<\/td><td>10<\/td><td>11<\/td><\/tr><tr><td>1<\/td><td>50,000<\/td><td>29,289<\/td><td>20,630<\/td><td>15,910<\/td><td>12,945<\/td><td>10,910<\/td><td>9,428<\/td><td>8,300<\/td><td>7,412<\/td><td>6,697<\/td><td>6,107<\/td><\/tr><tr><td>2<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>70,711<\/td><td>50,000<\/td><td>38,573<\/td><td>31,381<\/td><td>26,445<\/td><td>22,849<\/td><td>20,113<\/td><td>17,962<\/td><td>16,226<\/td><td>14,796<\/td><\/tr><tr><td>3<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>79,370<\/td><td>61,427<\/td><td>50,000<\/td><td>42,141<\/td><td>36,412<\/td><td>32,052<\/td><td>28,624<\/td><td>25,857<\/td><td>23,578<\/td><\/tr><tr><td>4<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>84,090<\/td><td>68,616<\/td><td>57,859<\/td><td>50,000<\/td><td>44,015<\/td><td>39,308<\/td><td>35,510<\/td><td>32,380<\/td><\/tr><tr><td>5<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>87,055<\/td><td>73,555<\/td><td>63,588<\/td><td>55,984<\/td><td>50,000<\/td><td>45,169<\/td><td>41,189<\/td><\/tr><tr><td>6<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>89,090<\/td><td>77,151<\/td><td>67,948<\/td><td>60,691<\/td><td>54,831<\/td><td>50,000<\/td><\/tr><tr><td>7<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>90,572<\/td><td>79,887<\/td><td>71,376<\/td><td>64,490<\/td><td>58,811<\/td><\/tr><tr><td>8<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>91,700<\/td><td>82,038<\/td><td>74,142<\/td><td>67,620<\/td><\/tr><tr><td>9<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>92,587<\/td><td>83,774<\/td><td>76,421<\/td><\/tr><tr><td>10<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>93,303<\/td><td>85,204<\/td><\/tr><tr><td>11<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>&nbsp;<\/td><td>93,893<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/center>\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>M\u00e9thode des rangs moyens :<\/strong>  20 &lt; nombre de TBF  n &lt;= 50 \\[\\ F(n_i)=\\frac {n_i} {n+1} \\]\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>M\u00e9thode des rangs bruts :<\/strong> nombre de TBF n &gt; 50 \\[\\ F(n_i)=\\frac {n_i} {n} \\]\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Travaux Dirig\u00e9s<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"TD_loi_expo\">TD n\u00b0 1 : loi exponentielle<\/h3>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<figure><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/pamo.ovh\/EJS\/ejss_simu\/Maint\/loi_expo_2021_Simulation.html\" width=\"100%\" height=\"650\"><\/iframe><\/figure>\n\n\n\n<br>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"TD_Weib_1\">TD n\u00b0 2 : loi de Weibull avec \u03b3 = 0<\/h3>\n\n\n\n<p>Sur le graphique ci-dessous, la fonction de d\u00e9faillance relative aux observations est repr\u00e9sent\u00e9e en bleu, la fonction de d\u00e9faillance obtenue \u00e0 l&rsquo;aide du mod\u00e8le de Weibull est repr\u00e9sent\u00e9e en rouge.<\/p>\n\n\n\n<p>Vous pouvez faire varier les 3 param\u00e8tres de la loi de Weibull afin de \u00ab\u00a0faire coller\u00a0\u00bb au mieux le mod\u00e8le aux observations.<\/p>\n\n\n\n<figure><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/pamo.ovh\/EJS\/ejss_simu\/Maint\/loi_web_1_2021_Simulation.html\" width=\"100%\" height=\"650\"><\/iframe><\/figure>\n\n\n\n<br>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"TD_loi_weib2\">TD n\u00b0 3 : loi de Weibull \u03b3 \u2260 0<\/h3>\n\n\n\n<figure><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/pamo.ovh\/EJS\/ejss_simu\/Maint\/loi_web_2_2021_Simulation.html\" width=\"100%\" height=\"650\"><\/iframe><\/figure>\n\n\n\n<p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ce cours est la suite de celui de premi\u00e8re ann\u00e9e. Nous avions alors \u00e9tudi\u00e9 les diff\u00e9rents outils permettant de caract\u00e9riser les d\u00e9faillances et donc de d\u00e9terminer le plan de maintenance&nbsp;: diagrammes de PARETO, courbes ABC. Nous nous int\u00e9ressons cette ann\u00e9e, dans un premier temps, \u00e0 la fiabilit\u00e9, la maintenabilit\u00e9 et la disponibilit\u00e9 des \u00e9quipements. Nous<\/p>\n<footer class=\"entry-footer index-entry\">\n<div class=\"post-social pull-left\"><a href=\"https:\/\/www.facebook.com\/sharer\/sharer.php?u=https%3A%2F%2Fpamo.ovh%2Findex.php%2Fmaintenance%2Fmaintenance-mse2%2F\" target=\"_blank\" class=\"social-icons\"><i class=\"fa fa-facebook\" aria-hidden=\"true\"><\/i><\/a><a href=\"https:\/\/twitter.com\/home?status=https%3A%2F%2Fpamo.ovh%2Findex.php%2Fmaintenance%2Fmaintenance-mse2%2F\" target=\"_blank\" class=\"social-icons\"><i class=\"fa fa-twitter\" aria-hidden=\"true\"><\/i><\/a><a href=\"https:\/\/www.linkedin.com\/shareArticle?mini=true&#038;url=https%3A%2F%2Fpamo.ovh%2Findex.php%2Fmaintenance%2Fmaintenance-mse2%2F&#038;title=Maintenance+MSE2\" target=\"_blank\" class=\"social-icons\"><i class=\"fa fa-linkedin\" aria-hidden=\"true\"><\/i><\/a><\/div>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/maintenance\/maintenance-mse2\/\" class=\"more-link\">Continue reading <span class=\"meta-nav\">\u2192<\/span><\/a><\/p>\n<\/footer>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":38,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"kt_blocks_editor_width":"","footnotes":""},"class_list":["post-77","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/77","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=77"}],"version-history":[{"count":99,"href":"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/77\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1893,"href":"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/77\/revisions\/1893"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/38"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pamo.ovh\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=77"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}